PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a^3. Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.
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Resolução comentada
Resposta única (sem itens):
Seja p primo com p = a^3 + b^3, onde a, b \in \mathbb{N}, ou seja, a, b \geq 1.
Fatorando a soma de cubos:
Como p é primo, seus únicos divisores positivos são 1 e p. Como a+b \geq 2, o fator a+b não pode ser 1. Logo:
O segundo fator é positivo, pois a^2 - ab + b^2 = (a-b)^2 + ab > 0. Então ele só pode valer 1, e o outro fator vale p.
Resolvendo a^2 - ab + b^2 = 1:
Como ab \geq 1 e (a-b)^2 \geq 0, devemos ter ab = 1 e a = b. Com a, b naturais, isso dá a = b = 1.
Assim, p = a + b = 2. Conferindo: 1^3 + 1^3 = 2, que é primo.
Portanto, o único primo que é soma de dois cubos perfeitos é o 2.
O subconjunto procurado é \{2\}.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗