PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2020
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}: conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : conjunto dos números reais.
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos.
i : unidade imaginária, i^2 = -1.
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}.
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
A\hat{O}B : ângulo formado pelos segmentos \overline{OA} e \overline{OB}, com vértice no ponto O.
C \cup D = união entre os conjuntos C e D.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Trata-se de probabilidade condicional. O espaço amostral é formado pelos resultados ordenados (a,b,c) dos três dados que somam 9. Depois contamos, entre eles, os que têm os três números ímpares.
Casos possíveis. Contamos as soluções de a+b+c=9 com 1\le a,b,c\le 6.
- Sem o limite superior, as soluções inteiras positivas são \binom{8}{2}=28.
- Devemos descartar as que têm alguma variável maior ou igual a 7. Se a\ge 7, fazemos a=6+a' com a'\ge1. Então a'+b+c=3, que tem apenas 1 solução, (1,1,1). O mesmo vale para b e para c, o que dá 3 casos a descartar. Duas variáveis não podem ser \ge 7 ao mesmo tempo.
- Total: 28-3=25 resultados.
Casos favoráveis. Os valores ímpares possíveis são 1, 3 e 5, e a soma deve ser 9. As combinações são:
- \{1,3,5\}, que dá 3!=6 resultados ordenados;
- \{3,3,3\}, que dá 1 resultado.
Outras combinações não servem. Por exemplo, 1+1+7 usa um 7 e 5+5-1 usa um número negativo. Há então 7 casos favoráveis.
Probabilidade.
Resposta: \dfrac{7}{25} (isto é, 28\%).
Assuntos: Probabilidade condicional, Princípio fundamental da contagem.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: ITA 2ª fase 2020 · Matemática. Prova oficial ↗