PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto \{1, 2, 3, \ldots, 29, 30\}. Determine a probabilidade da soma desses três números ser divisível por 3.
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Resolução comentada
a) Primeiro, separe os números de 1 a 30 pelo resto da divisão por 3. Cada resto (0, 1 ou 2) aparece exatamente 10 vezes: 10 números com resto 0, 10 com resto 1 e 10 com resto 2.
A soma de três números é divisível por 3 quando a soma dos restos é divisível por 3. Isso só acontece em dois casos:
- Os três têm o mesmo resto (0,0,0), (1,1,1) ou (2,2,2). Soma dos restos: 0, 3 ou 6.
- Os três têm restos diferentes (0,1,2). Soma dos restos: 3.
Outras combinações, como (0,0,1) ou (1,1,2), dão soma de restos não divisível por 3.
Contagem dos casos favoráveis:
- Mesmo resto: 3\cdot\binom{10}{3}=3\cdot 120=360.
- Restos diferentes: 10\cdot10\cdot10=1000.
Total de casos favoráveis: 360+1000=1360.
Total de casos possíveis:
Probabilidade:
A fração é irredutível, pois 68=2^2\cdot17 e 203=7\cdot29.
P=\dfrac{68}{203}\approx 33{,}5\%
Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Divisibilidade, MMC e MDC, Combinações e binômio de Newton.
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Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗