PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do ITA 2019
Texto-base das questões 01 a 10 · Matemática
Notações
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sejam A, B, C os vértices de um triângulo. Determine \sen \hat{B}, sabendo que
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Resolução comentada
a) Como \hat A+\hat B+\hat C=\pi, temos \hat A+\hat B=\pi-\hat C. Logo \sen(\hat A+\hat B)=\sen\hat C, e o dado fica \sen\hat C=\dfrac45.
A outra condição é \sen(\hat A-\hat C)=\sen\hat C. Duas igualdades de seno só valem se os arcos forem iguais ou suplementares (a menos de 2k\pi). Como -\pi<\hat A-\hat C<\pi, restam duas possibilidades:
- \hat A-\hat C=\hat C, ou seja, \hat A=2\hat C;
- \hat A-\hat C=\pi-\hat C, ou seja, \hat A=\pi, o que é impossível num triângulo.
Portanto \hat A=2\hat C.
Se \hat C fosse obtuso, teríamos \hat A=2\hat C>\pi, o que é absurdo. Então \hat C é agudo e \cos\hat C=\dfrac35.
De \hat A=2\hat C segue \hat B=\pi-\hat A-\hat C=\pi-3\hat C. Assim:
Conferência numérica: \hat C\approx 53{,}13^\circ, \hat A\approx106{,}26^\circ e \hat B\approx20{,}6^\circ. Então \sen\hat B\approx0{,}352=\dfrac{44}{125}.
\sen\hat B=\dfrac{44}{125}
Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.
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Fonte: ITA 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗