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Questão 9 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Escolhe-se ao acaso 3 vértices de um cubo. A probabilidade desses vértices pertencerem a uma mesma face é:

  1. A
    3/7
  2. B
    3/8
  3. C
    1/3
  4. D
    3/10
  5. E
    1/4
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Resolução comentada

O cubo tem 8 vértices, então o total de maneiras de escolher 3 deles é C_{8,3}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.

Agora contamos os casos favoráveis, isto é, trios de vértices que estão numa mesma face.

  1. O cubo tem 6 faces, e cada face é um quadrado com 4 vértices.
  2. Em cada face, o número de trios é C_{4,3}=4.
  3. Total de trios em alguma face: 6\cdot4=24.

Não há contagem repetida: dois trios de faces diferentes só coincidiriam se os 3 vértices pertencessem a duas faces ao mesmo tempo. Duas faces compartilham no máximo uma aresta, ou seja, 2 vértices. Logo, cada trio pertence a uma única face.

A probabilidade é:

P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma contagem correta; 3/8 viria de 21 casos favoráveis em 56, sem justificativa.
  • CDaria 1/3 com cerca de 18,7 casos em 56; não é uma razão inteira de contagem e não corresponde a nenhum erro de contagem plausível.
  • D3/10 não tem denominador compatível com 56; vem de uma contagem errada do total de trios.
  • E1/4 corresponderia a 14 casos favoráveis, como se só houvesse 14 trios em faces, e não 24.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗