PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Considere as matrizes com coeficientes reais

A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C = \begin{pmatrix} x + 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & x \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},

onde os determinantes de A, B e C formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.

A soma de todos os valores possíveis de x é:

  1. A
    -4
  2. B
    -1
  3. C
    1
  4. D
    2
  5. E
    4
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Três números formam uma PA, nesta ordem, quando o termo do meio é a média dos extremos: 2\det B = \det A + \det C. Então calculamos cada determinante.\n\n1. \det A, expandindo pela primeira linha: x(1\cdot1 - 1\cdot0) - 1(0\cdot1 - 1\cdot1) + 0 = x + 1.\n\n2. \det B, pela primeira linha: (x+1)(2\cdot1 - 1\cdot0) - 1(0\cdot1 - 1\cdot1) = 2(x+1) + 1 = 2x + 3.\n\n3. \det C, pela primeira linha (os outros dois elementos são nulos): (x+1)\big[(x+1)\cdot1 - x\cdot0\big] = (x+1)^2.\n\nImpondo a condição da PA:\n\n

2(2x+3) = (x+1) + (x+1)^2
\n\n
4x + 6 = x + 1 + x^2 + 2x + 1
\n\n
x^2 - x - 4 = 0
\n\nO discriminante é 1 + 16 = 17 > 0, então as duas raízes são reais, e ambas servem, pois a condição é só a igualdade acima.\n\nPela soma das raízes, -b/a = 1.\n\nA soma de todos os valores possíveis de x é 1.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a soma das raízes de x^2-x-4=0; vem de erro de sinal ou de conta nos determinantes.
  • BTroca o sinal da soma das raízes, usando b/a em vez de -b/a.
  • DSoma errada, resultado de erro ao montar a equação da PA (por exemplo, esquecer o fator 2 no termo do meio).
  • ENão corresponde à soma das raízes da equação correta; resulta de erro ao desenvolver a equação.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Equação do 2º grau, Progressão aritmética.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Prova objetiva do IME 2026

Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗