Questão 8 do IME 2026

As sequências usam os ímpares em ordem: S_1 tem 1 termo, S_2 tem 2, S_3 tem 3, e assim por diante. Então S_k começa depois de todos os ímpares usados em S_1,\dots,S_{k-1}.

1. Quantidade de ímpares usados antes de S_k: 1+2+\dots+(k-1)=\dfrac{k(k-1)}{2}.

2. O m-ésimo ímpar é 2m-1. O primeiro termo de S_k é o ímpar de posição \dfrac{k(k-1)}{2}+1, ou seja:
   

   a=2\left(\frac{k(k-1)}{2}+1\right)-1=k^2-k+1.

Conferindo: k=2 dá 3; k=3 dá 7 (e S_2=(3,5) termina em 5). Correto.

3. S_k é uma PA de razão 2 com k termos. O último termo é a+2(k-1)=k^2+k-1.

4. Soma: \dfrac{(a+\text{último})\cdot k}{2}=\dfrac{(2k^2)\,k}{2}=k^3.

Para k=2025, a soma é 2025^3. Verificação: k=2 dá 3+5=8=2^3.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BExpressão sem relação com a soma k^3; vem de erro na contagem dos termos ou no primeiro termo.
• CMistura k e k-1 de forma incorreta; a soma é k^3, não k(k-1)^2.
• DUsa metade de k como fator, esquecendo que a média dos termos é k^2.
• EUsa k-1 no lugar de k, ou seja, a soma de S_{2024}.

Assunto: Progressão aritmética.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.