PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Sabe-se que i^2 = -1. A equação polinomial x^5 + x^4 + 7x^3 + 26x^2 + 26x + 20 = 0 possui uma raiz em x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}. A quantidade de raízes reais dessa equação é:

  1. A
    4
  2. B
    3
  3. C
    2
  4. D
    1
  5. E
    0
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Resolução comentada

Como os coeficientes do polinômio são reais, se \omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} é raiz, seu conjugado também é. Os dois são as raízes de x^2+x+1=0, pois \omega tem soma -1 e produto 1 com o conjugado. Então x^2+x+1 divide o polinômio.

  1. Divisão por x^2+x+1: o primeiro termo do quociente é x^3, e sobra 6x^3+26x^2+26x+20.
  2. O próximo termo é 6x, e sobra 20x^2+20x+20.
  3. O último termo é 20, e o resto é 0.

Logo o quociente é x^3+6x+20.

Para achar raízes reais desse cubo, testamos divisores de 20. Com x=-2: -8-12+20=0. Portanto x=-2 é raiz e

x^3+6x+20=(x+2)(x^2-2x+10).

No fator x^2-2x+10, o discriminante é \Delta=4-40=-36<0, então suas raízes são complexas não reais (1\pm3i).

As cinco raízes são \omega, seu conjugado, 1+3i, 1-3i e -2. Só -2 é real, ou seja, há uma raiz real.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta como reais raízes que são complexas, como as de x^2+x+1 ou de x^2-2x+10.
  • BSupõe que o cubo x^3+6x+20 tenha três raízes reais, mas só -2 é real.
  • CEsquece que x^2-2x+10 tem discriminante negativo e conta duas raízes reais.
  • EIgnora que x=-2 anula o cubo; a equação tem uma raiz real.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos, Polinômios.

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Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗