Questão 6 do IME 2026

Um número inteiro n é diferença de dois quadrados perfeitos, n = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), quando conseguimos escrevê-lo como produto de dois fatores p \cdot q de mesma paridade, com a = \frac{p+q}{2} e b = \frac{q-p}{2} inteiros. Se os fatores têm paridades diferentes, a e b não são inteiros.

O produto é par com fatores de mesma paridade só se for múltiplo de 4. Se for ímpar, qualquer fatoração serve, pois todos os fatores são ímpares.

Testando cada alternativa:

1. (A) 2023\cdot 2024: 2024 é múltiplo de 4, então o produto é múltiplo de 4. Serve, por exemplo, com p=2 e q = 2023\cdot 1012, ambos pares.
2. (B) 2023\cdot 2025: produto ímpar, serve. Aqui a = 2024 e b = 1, pois 2024^2-1=(2023)(2025).
3. (C) 2024\cdot 2025: 2024 é múltiplo de 4, serve.
4. (D) 2024\cdot 2026: ambos são pares, logo é múltiplo de 4. Serve, com a=2025 e b=1.
5. (E) 2025\cdot 2026: 2025 é ímpar e 2026 = 2\cdot 1013, então o produto é da forma 2\cdot ímpar, isto é, deixa resto 2 na divisão por 4. Qualquer fatoração em dois fatores teria um fator par e outro ímpar, ou seja, paridades diferentes. Não serve.

Confirmando: quadrados deixam resto 0 ou 1 na divisão por 4, e as diferenças deixam resto 0, 1 ou 3, nunca 2.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A2024 é múltiplo de 4, logo o produto é múltiplo de 4 e pode ser diferença de quadrados.
• BProduto de ímpares é ímpar; vale 2024² − 1² = 2023·2025.
• CContém o fator 2024, múltiplo de 4, então pode ser escrito como diferença de quadrados.
• DProduto de dois pares consecutivos é múltiplo de 4; vale 2025² − 1² = 2024·2026.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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