PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Números complexos

Sabe-se que i^2 = -1 e arg(z) é o argumento do complexo z.

Sejam z_1 = 3 + 4i e z_2 = 12 + 5i . O complexo z_3 é tal que |z_3 - z_2| = 5 e \left|arg\left(\frac{z_3 - z_2}{z_1}\right)\right| = \frac{\pi}{2}.

O maior valor possível de z_3 \cdot \overline{z_3} é:

  1. A
    82
  2. B
    128
  3. C
    260
  4. D
    306
  5. E
    320
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Resolução comentada

Dividir z_3 - z_2 por z_1 e exigir argumento \pm\frac{\pi}{2} significa que o quociente é imaginário puro. Então z_3 - z_2 é perpendicular a z_1 (o quociente não pode ser nulo, pois |z_3-z_2|=5).

  1. O módulo de z_1 é |z_1| = \sqrt{9+16} = 5. Logo z_3 - z_2 = \pm\, 5i \cdot \frac{z_1}{|z_1|}\cdot (módulo 5), isto é, z_3 - z_2 = \pm i z_1.

  2. Calculando: i z_1 = i(3+4i) = -4+3i.

  3. Primeira possibilidade: z_3 = 12+5i + (-4+3i) = 8+8i, e |z_3|^2 = 64+64 = 128.

  4. Segunda possibilidade: z_3 = 12+5i - (-4+3i) = 16+2i, e |z_3|^2 = 256+4 = 260.

Como z_3\cdot\overline{z_3} = |z_3|^2, o maior valor possível é 260.

Conferência geométrica: |z_2|^2 = 144+25 = 169, ou seja, |z_2| = 13. Os pontos z_3 estão em uma circunferência de raio 5 centrada em z_2, nas extremidades de um diâmetro perpendicular a z_1. O resultado confere com as contas.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem considera apenas uma das duas soluções (z_3 = 8+8i) e esquece o sinal \pm do argumento.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as duas soluções 8+8i e 16+2i.
  • BÉ o módulo ao quadrado de 8+8i, que é o menor dos dois valores, não o maior.
  • DNão corresponde a nenhum dos dois pontos possíveis.
  • ENão corresponde a nenhum dos dois pontos possíveis.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗