Questão 13 do IME 2026

Question

Considere a hipérbole dada pela equação \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1. Sejam F e F' seus focos onde F pertence ao semi-eixo positivo e F' ao semi-eixo negativo. Seja T o ponto simétrico ao foco F em relação à assíntota de coeficiente angular positivo. O valor do raio do circulo inscrito ao triângulo F'TF é:

A
2
B
\sqrt{3}
C
\sqrt{7}
D
\frac{3}{2}
E
\sqrt{6}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Considere a hipérbole dada pela equação \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1. Sejam F e F' seus focos onde F pertence ao semi-eixo positivo e F' ao semi-eixo negativo. Seja T o ponto simétrico ao foco F em relação à assíntota de coeficiente angular positivo. O valor do raio do circulo inscrito ao triângulo F'TF é:

A
2
B
\sqrt{3}
C
\sqrt{7}
D
\frac{3}{2}
E
\sqrt{6}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Da equação, a=4, b=3, então c=\sqrt{16+9}=5. Os focos são F(5,0) e F'(-5,0). A assíntota de coeficiente positivo é y=\frac{3}{4}x, ou seja, 3x-4y=0.

Reflexão de F na reta: a distância com sinal é \frac{3\cdot5-0}{5}=3. O ponto simétrico é T=F-2\cdot3\cdot\frac{(3,-4)}{5}=(5,0)-\left(\frac{18}{5},-\frac{24}{5}\right)=\left(\frac{7}{5},\frac{24}{5}\right).
Lados do triângulo F'TF:

F'F=10.
TF=2\cdot3=6, pois T e F estão a 3 da reta, de lados opostos.
TF'=\sqrt{\left(\frac{7}{5}+5\right)^2+\left(\frac{24}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{1024+576}{25}}=\sqrt{64}=8.

Os lados 6, 8, 10 formam um triângulo retângulo (em T). Para o triângulo retângulo, o raio inscrito é r=\frac{\text{cateto}_1+\text{cateto}_2-\text{hipotenusa}}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.

Conferindo pela área: A=\frac{6\cdot8}{2}=24 e semiperímetro p=12, logo r=\frac{A}{p}=2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com o cálculo de r=A/p; não corresponde ao triângulo 6-8-10.
CResulta de erro nas contas dos lados ou da área, pois o raio correto é 2.
DSeria o raio se a área ou o semiperímetro fossem calculados errado; 24/12 dá 2.
EValor sem relação com o triângulo retângulo 6-8-10, cujo raio inscrito é 2.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Transformações geométricas e localização.

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Questão 13 no caderno Prova objetiva do IME 2026

Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗