Questão 12 do IME 2026

Faça t=\ln x. Como x\in[1,e), temos t\in[0,1).

Numerador:

• \log_{\sqrt e}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln \sqrt e}=\dfrac{t}{1/2}=2t.
• 2\ln\left(\dfrac{x}{e}\right)=2(t-1).
• Então N=2t-2(t-1)+6=8, que é constante.

Denominador:

• \left|\ln\left(\dfrac1{x^5}\right)\right|=|-5t|=5t, pois t\ge0.
• \ln(x^4e^2)-2=4t+2-2=4t, e a raiz vale 2\sqrt t.
• Com s=\sqrt t\in[0,1): D=3-5s^2+2s.

Como 5s^2-2s-3=(s-1)(5s+3), temos D>0 para s\in[0,1). Logo a fração é positiva e vale \dfrac{8}{D}.

Mínimo da fração: A é o menor valor de \dfrac8D, isto é, aquele em que D é máximo. D é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em s=\dfrac{2}{10}=\dfrac15, que pertence a [0,1).

Portanto:

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde ao valor de D no vértice; não sai do mínimo de 8/D.
• CIntroduz e sem motivo: a fração não depende de e após a substituição t=\ln x.
• DUsa um valor errado de D (por exemplo D=5), sem maximizar a parábola corretamente.
• EMantém \sqrt e no resultado, mas o numerador é constante e o mínimo é racional.

Assuntos: Função quadrática, Logaritmos e função logarítmica.