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Questão 14 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A imagem abaixo mostra um círculo de raio r, um quadrado de lado L e um retângulo. Os pontos em preto indicam o centro da circunferência e os locais de contato entre ela e as demais figuras. A área de interseção do quadrado com o retângulo abaixo é 11\ \text{u}^2. O valor, em unidade u, do raio r da circunferência é:

Círculo com um diâmetro horizontal, um quadrado inclinado e um retângulo sobrepostos. A base do retângulo está sobre o diâmetro, e seus dois vértices superiores estão na circunferência. O quadrado tem um vértice na extremidade esquerda do diâmetro e outro coincidente com o vértice superior esquerdo do retângulo; seus dois lados que partem desse último vértice estão identificados por L. O lado direito do quadrado passa pelo centro do círculo. Quatro pontos pretos assinalam a extremidade esquerda do diâmetro, os dois vértices superiores do retângulo e o centro do círculo. Um segmento do centro até a circunferência, dirigido para baixo e à direita, está identificado por r.

  1. A
    7
  2. B
    11
  3. C
    5
  4. D
    \sqrt{11}
  5. E
    2\sqrt{11}
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Resolução comentada

Coloque o centro O na origem e chame de A a extremidade esquerda do diâmetro e de P o vértice superior esquerdo do retângulo. A e P estão na circunferência, e o lado AP do quadrado mede L (é uma corda).

O lado oposto do quadrado passa por O. Logo, a distância de O à corda AP é igual a L. Pelo triângulo retângulo formado pelo raio, essa distância e a metade da corda:

r^2=L^2+\left(\tfrac{L}{2}\right)^2=\tfrac{5L^2}{4}

Para facilitar, tome r^2=5 e L=2 (depois a área é reescalada com r^2). Em unidades de \frac{1}{\sqrt5}, as coordenadas são:

  1. A=(-5,0) e P=(-3,4), que está na circunferência, pois 9+16=25.
  2. AP tem direção (2,4). A direção perpendicular, com o mesmo comprimento, é (4,-2).
  3. O vértice R=P+(4,-2)=(1,2) está na reta que passa por O. Isso confere a condição do enunciado.

O retângulo tem base no diâmetro (y\ge 0) e lados verticais em x=\pm3, pois P é seu vértice. Então a interseção com o quadrado é o quadrilátero (-3,4),(-3,0),(0,0),(1,2), porque a parte à esquerda de x=-3 e a abaixo do diâmetro ficam fora.

Pela fórmula do cordão (shoelace), a soma é 12+0+0+10=22. A área é 11 nessas unidades, e como cada unidade vale \frac{1}{\sqrt5}, a área real é \frac{11}{5} para r^2=5.

A área é proporcional a r^2:

\text{área}=\frac{11}{25}r^2=11\Rightarrow r^2=25\Rightarrow r=5

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum cálculo coerente; r=7 daria área \frac{11\cdot49}{25}\neq 11.
  • BConfunde a área dada (11) com o raio.
  • DToma r^2=11, igualando r^2 à área, sem a proporção \frac{11}{25}r^2.
  • EDaria r^2=44, que não satisfaz a proporção \frac{11}{25}r^2=11.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗