PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2026

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Considere o sistema de equações no qual \theta é um parâmetro real.

\begin{cases} \sen(\theta)x - \cos(\theta)y - \sen(\theta)z = 2025 \\ \cos(\theta)x + \sen(\theta)y - \cos(\theta)z = 2026 \\ \sen(\theta) \cdot \cos(\theta)x + \cos^2(\theta)y + \sen(\theta) \cdot \cos(\theta)z = 2030 \end{cases}

O conjunto de todos os valores de \theta que tornam o sistema impossível é:

  1. A
    \{0\}
  2. B
    \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}
  3. C
    \left\{ \dfrac{k\pi}{2} \middle| k \in \mathbb{Z} \right\}
  4. D
    \left\{ \dfrac{k\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} \middle| k \in \mathbb{Z} \right\}
  5. E
    \left\{ \dfrac{k\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3} \middle| k \in \mathbb{Z} \right\}
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Resolução comentada

Sejam s=\sen\theta e c=\cos\theta. As equações são:

(1) sx - cy - sz = 2025
(2) cx + sy - cz = 2026
(3) c\,(sx + cy + sz) = 2030

Note que x e z aparecem sempre com coeficientes opostos nas duas primeiras equações. Em (1) e (2), os coeficientes de x e z são s,-s e c,-c. Em (3), o termo sx+cy+sz não tem a mesma estrutura, então é preciso combinar as equações.

Multiplique (1) por s e (2) por c e some:

(s^2+c^2)x + (-sc+sc)y - (s^2+c^2)z = 2025s + 2026c

Ou seja, x - z = 2025s + 2026c.

Multiplique (1) por -c e (2) por s e some:

(-sc+cs)x + (c^2+s^2)y + (sc - sc)z = -2025c + 2026s

Logo, y = 2026s - 2025c.

A terceira equação tem x+z (com s) e y (com c): s(x+z) + cy = 2030/c se c\neq0. Mas x+z não aparece em (1) e (2), que só determinam x-z e y. Assim x+z é livre em (1) e (2), e (3) fica sc(x+z) = 2030 - c^2y - sc\,(x-z)\cdot 0... Reescrevendo: s c x + s c z = sc(x+z) e c^2y é conhecido.

Então (3) vira sc\,(x+z) = 2030 - c^2 y.

  • Se sc\neq0: determina x+z, sistema possível.
  • Se sc=0: o lado esquerdo é 0, e o sistema é impossível se 2030 - c^2y \neq 0.

Caso s=0, c=\pm1: y=\mp2025, c^2y=\mp2025\neq2030. Impossível.

Caso c=0, s=\pm1: c^2y=0, então 2030\neq0. Impossível.

Portanto o sistema é impossível exatamente quando \sen\theta\cos\theta=0, isto é, \theta=\dfrac{k\pi}{2}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só \theta=0, ignorando os demais ângulos com \sen\theta\cos\theta=0.
  • Binclui só os casos com \sen\theta=0, esquecendo \cos\theta=0, que também torna o sistema impossível.
  • Dsão ângulos em que \sen\theta\cos\theta\neq0, onde o sistema é possível.
  • Etambém são ângulos com \sen\theta\cos\theta\neq0, onde o sistema tem solução.

Assuntos: Sistemas lineares, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: IME 2026 · Prova objetiva. Prova oficial ↗