PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do IME 2025

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

São dados os pontos A e B sobre uma circunferência de raio r, de forma que a corda \overline{AB} mede r. Escolhe-se ao acaso um ponto C sobre o maior arco \stackrel{\frown}{AB}. A probabilidade da área do triângulo ABC ser maior que \frac{r^2\sqrt{3}}{4} é

  1. A
    \frac{1}{5}
  2. B
    \frac{2}{5}
  3. C
    \frac{1}{2}
  4. D
    \frac{3}{5}
  5. E
    \frac{4}{5}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Como AB = r, o triângulo OAB é equilátero, então a corda AB subtende um ângulo central de 60^\circ. O maior arco AB mede 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ.

A área de ABC é \frac{1}{2}\cdot AB\cdot h = \frac{r\,h}{2}, onde h é a distância de C à reta AB. A condição pedida fica:

\frac{r\,h}{2} > \frac{r^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow h > \frac{r\sqrt{3}}{2}

A distância do centro O à corda AB é a altura do triângulo equilátero OAB, ou seja, \frac{r\sqrt{3}}{2}.

Coloque O na origem e AB na reta horizontal y = -\frac{r\sqrt{3}}{2}, com o arco menor abaixo dela. Para um ponto C de ordenada y, temos h = y + \frac{r\sqrt{3}}{2}. Então:

h > \frac{r\sqrt{3}}{2} \iff y > 0

Ou seja, C precisa estar na semicircunferência superior, que mede 180^\circ e está inteira dentro do maior arco.

Probabilidade (razão de arcos):

P = \frac{180^\circ}{300^\circ} = \frac{3}{5}

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem divide a semicircunferência pela circunferência inteira, esquecendo que o espaço amostral é só o maior arco, de 300^\circ.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a razão de arcos 180^\circ/300^\circ.
  • BCorresponde a 120^\circ/300^\circ, o arco complementar dentro do maior arco, em vez de 180^\circ/300^\circ.
  • CUsa a semicircunferência sobre a circunferência toda ou ignora que o maior arco mede só 300^\circ.
  • EValor sem justificativa; não vem da razão correta de arcos.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Prova objetiva do IME 2025

Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗