PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do IME 2025

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Considere a matriz quadrada A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & 2022 \\ 2 & x & 1 & 2 & 3 & \cdots & 2022 \\ 2 & 0 & x & 2 & 3 & \cdots & 2022 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & x \end{bmatrix} de ordem 2024.

A soma das raízes do polinômio dado por p(x) = det(A), x \in \mathbb{R}, é

  1. A
    2024 \times 2023
  2. B
    2025^2
  3. C
    2024 \times 2025
  4. D
    1012 \times 2025
  5. E
    1011 \times 2023
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Resolução comentada

Observe que todas as linhas repetem a primeira linha (a_1,a_2,\dots,a_{2024})=(2,0,1,2,\dots,2022). A única diferença é que, na linha k\ge 2, a entrada da diagonal a_k é trocada por x.\n\nO determinante não muda ao subtrair a linha 1 das demais (Jacobi). Fazendo isso:\n\n1. A linha 1 continua (2,0,1,2,\dots,2022).\n2. A linha k\ge2 vira (0,\dots,0,\,x-a_k,\,0,\dots,0), com x-a_k na posição k.\n\nA matriz fica triangular superior (a primeira linha é cheia e as demais só têm a diagonal). O determinante é o produto da diagonal:\n\n

p(x)=2\cdot\prod_{k=2}^{2024}(x-a_k).
\n\nOs valores a_k para k=2,\dots,2024 são 0,1,2,\dots,2022, porque a_2=0 e a_j=j-2 para j\ge3.\n\nAs raízes são, portanto, 0,1,2,\dots,2022, todas reais. A soma é\n\n
0+1+\dots+2022=\frac{2022\cdot 2023}{2}=1011\cdot 2023.
\n\nAlternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde à soma 0+1+\dots+2022; esquece de dividir por 2 e usa os números errados.
  • BValor sem relação com a soma das raízes 0,1,\dots,2022.
  • CUsaria a soma até 2024 sem dividir por 2; as raízes só vão até 2022.
  • DUsaria 1012\cdot2025, que seria a soma de 1 a 2024 ou de uma lista deslocada, não 0 a 2022.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão aritmética.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗