Questão 5 do IME 2025

Use as relações de Girard para a equação x^3 + 6x^2 - 6x - 3 = 0 (com a=1, b=6, c=-6, d=-3):

1. Soma das raízes: \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a} = -6.
2. Soma dos produtos dois a dois: \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a} = -6.
3. Produto das raízes: \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = 3.

O truque é escrever cada fator usando a soma total S=-6: \alpha+\beta = S-\gamma, \beta+\gamma = S-\alpha e \gamma+\alpha = S-\beta. Então o produto pedido é

Esse produto é exatamente p(S), onde p(x)=x^3+6x^2-6x-3=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma). Calculando em x=-6:

Conferindo pela identidade (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = S\cdot P_2 - P_3, com P_2=-6 e P_3=3: (-6)(-6) - 3 = 36 - 3 = 33. Os dois caminhos concordam.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhum cálculo correto das relações de Girard; resulta de erro de sinal ou conta.
• BValor sem base nas relações de Girard, provavelmente erro de sinal ao calcular p(-6).
• CResulta de erro de conta ou de sinal nos coeficientes, não de S\cdot P_2 - P_3.
• EObtido ao somar S\cdot P_2 + P_3 com sinal errado em alguma parte, ou erro aritmético.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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