Questão 3 do IME 2025

Question

Considere a sequência de números complexos z_1 = (1 + i), z_2 = (1 + i)^2, \text{...}, z_{20} = (1 + i)^{20}, onde i^2 = -1.

A maior área possível do triângulo formado pelos afixos de três números consecutivos dessa sequência é

A
2^{16}
B
2^{17}
C
2^{18}
D
2^{19}
E
2^{20}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do IME 2025

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Números complexos

Considere a sequência de números complexos z_1 = (1 + i), z_2 = (1 + i)^2, \text{...}, z_{20} = (1 + i)^{20}, onde i^2 = -1.

A maior área possível do triângulo formado pelos afixos de três números consecutivos dessa sequência é

A
2^{16}
B
2^{17}
C
2^{18}
D
2^{19}
E
2^{20}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os afixos de z_n=(1+i)^n formam uma espiral: cada z_{n+1} é z_n multiplicado por 1+i, que tem módulo \sqrt{2} e argumento 45^\circ. Então |z_n|=2^{n/2} e o ângulo entre z_n e z_{n+1} é 45^\circ.

Para três consecutivos z_n, z_{n+1}, z_{n+2}, use a translação: a área não muda se dividirmos tudo por z_n e multiplicarmos pela escala depois. Dividindo por z_n, os pontos viram 1, w=1+i, w^2=2i. A área desse triângulo-modelo é

A_0=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} w-1 & w^2-1\end{pmatrix}\right|

com w-1=i, ou seja (0,1), e w^2-1=-1+2i, ou seja (-1,2).

Determinante: 0\cdot 2-1\cdot(-1)=1.
A_0=\dfrac12.

Multiplicar todos os pontos por z_n é uma semelhança de razão |z_n|, que multiplica a área por |z_n|^2=2^n. Logo

A_n=\frac{1}{2}\cdot 2^n=2^{n-1}.

A área cresce com n. O maior n possível é n=18 (pois os termos são z_{18},z_{19},z_{20}), e então

A_{18}=2^{17}.

Alternativa B.

Pegadinha: As alternativas C e E enganam quem esquece o fator \frac12 ou usa o módulo do último termo (2^{20}) sem considerar que o triângulo começa em z_{18}.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa n=17 ou erra o expoente, chegando a 2^{16}, que não corresponde ao último trio possível.
CEsquece o fator \frac12 da área do triângulo, obtendo 2^{n} com n=18.
DToma o índice do termo mais distante e o fator de escala errado, superestimando o expoente.
EUsa |z_{20}|^2=2^{20} como área, ignorando o triângulo-modelo e que o trio começa em z_{18}.

Assuntos: Números complexos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Prova objetiva do IME 2025

Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗