Questão 4 do IME 2025

Pelas relações de Girard, para x^2 - px + q = 0: a soma das raízes é a+b = p e o produto é ab = q.

A ideia é escrever a^4+b^4 usando só a soma e o produto, passando pelos quadrados.

1. Soma dos quadrados: a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = p^2 - 2q.

2. Produto dos quadrados: a^2b^2 = (ab)^2 = q^2.

3. Elevando a^2+b^2 ao quadrado: a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2.

4. Substituindo: a^4+b^4 = (p^2-2q)^2 - 2q^2.

5. Desenvolvendo o quadrado: (p^2-2q)^2 = p^4 - 4p^2q + 4q^2.

6. Logo: a^4+b^4 = p^4 - 4p^2q + 4q^2 - 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2.

Teste rápido: com p=2 e q=1 (raiz dupla a=b=1), a^4+b^4=2. A fórmula dá 16 - 16 + 2 = 2. Confere.

O resultado é p^4 + 2q^2 - 4p^2q.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ATem 4q^2 e -2p^2q: erra o coeficiente de q^2 e o de p^2q, que deveria ser -4.
• BEsquece de subtrair 2a^2b^2 = 2q^2, ficando com 4q^2 em vez de 2q^2.
• DTroca p^2q por p^4q e mantém 4q^2, sem subtrair 2q^2.
• EAcerta 2q^2, mas o termo misto é -4p^2q, não -2p^2q (esquece o fator 2 do quadrado de p^2-2q).

Assuntos: Equação do 2º grau, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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