Questão 2 do IME 2025

A soma é uma P.G. infinita de razão q=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}}=1-\frac{\sqrt2}{\sqrt{x-1}}. Ela converge se |q|<1.

Para x\ge 3, temos \sqrt{x-1}\ge\sqrt2, logo 0\le \frac{\sqrt2}{\sqrt{x-1}}\le 1 e q\in[0,1). Em x=3, q=0 e a série vale 0, convergindo. Então a série converge em todo o domínio.

O termo 1 somado à série \sum_{n\ge1}q^n forma \sum_{n\ge0}q^n=\frac{1}{1-q}:

O conjunto B é a imagem: f(3)=1 e f é crescente, então B=[1,\infty).

Inversa: y=\sqrt{\frac{x-1}{2}}\Rightarrow x=2y^2+1, ou seja, f^{-1}(x)=2x^2+1, com x\ge1.

O gráfico de f^{-1} tem pontos (x,\,2x^2+1) com x\ge1. A distância ao eixo das abscissas é a ordenada 2x^2+1, que é mínima em x=1, dando y=3.

Ponto: (1,3), e a soma das coordenadas é 1+3=4.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem toma o vértice (0,1) da parábola 2x^2+1, esquecendo que o domínio da inversa é [1,\infty), a imagem de f.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIgnora a restrição do domínio da inversa (x\ge1) e usa um ponto fora do gráfico, como o vértice em x=0 com sinal errado.
• BUsa o vértice da parábola (0,1) ou algo parecido, mas x=0 não pertence ao domínio de f^{-1}, que é [1,\infty).
• CToma o vértice (0,1) da parábola 2x^2+1, cuja soma das coordenadas é 1, esquecendo que x\ge1.
• DUsa só a ordenada mínima 3 (ou o ponto (0,3)), sem somar a abscissa 1.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Progressão geométrica.

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