Questão 1 do IME 2025

Primeiro convertemos o limite: (377)_8 = 3\cdot 64 + 7\cdot 8 + 7 = 255 = 2^8 - 1. Em binário, é 11111111 (8 algarismos). Então todos os números de 1 a 255 têm de 1 a 8 algarismos binários, e basta contar os palíndromos de cada tamanho.

Um palíndromo com n algarismos começa com 1, e então termina com 1. A primeira metade (os \lceil n/2\rceil primeiros algarismos) determina o número todo. O primeiro algarismo é fixo em 1, e os demais \lceil n/2\rceil - 1 são livres. Logo há 2^{\lceil n/2\rceil-1} palíndromos com n algarismos.

1. n=1: 2^0=1 (o número 1)
2. n=2: 2^0=1 (11)
3. n=3: 2^1=2
4. n=4: 2^1=2
5. n=5: 2^2=4
6. n=6: 2^2=4
7. n=7: 2^3=8
8. n=8: 2^3=8

Soma: 1+1+2+2+4+4+8+8=30.

Como o limite 255 é o maior número de 8 algarismos, todos os palíndromos de 8 algarismos entram na contagem.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só os palíndromos até 6 ou 7 algarismos, ou faz a soma de forma incompleta.
• BOmite os palíndromos de 8 algarismos, ou erra a soma parcial (30 menos 4).
• DSoma 1 a mais, possivelmente incluindo o zero, que não é positivo.
• EUsa 2^5, achando que cada tamanho contribui de forma uniforme, ou inclui o zero e outro valor indevido.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Sistemas de numeração.

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