PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 12 do IME 2025
Considere um triângulo com vértices em A(1,2), B(2,2) e C(4,0).
A equação da reta que é a bissetriz interna do triângulo referente ao vértice A é
- A2x + (3 - \sqrt{13})y + (2\sqrt{13} - 8) = 0
- B2x + (3 + \sqrt{13})y - (2\sqrt{13} + 8) = 0
- Cx + (4 + \sqrt{13})y - (2\sqrt{13} + 9) = 0
- Dx + (4 - \sqrt{13})y + (2\sqrt{13} - 9) = 0
- E(3 + \sqrt{13})x + 2y - (\sqrt{13} + 7) = 0
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
A bissetriz interna de A tem a direção da soma dos vetores unitários dos lados AB e AC. Essa soma é a diagonal de um losango, que divide o ângulo ao meio.
- \vec{AB}=(1,0), com |AB|=1. O vetor unitário é (1,0).
- \vec{AC}=(3,-2), com |AC|=\sqrt{13}. O vetor unitário é \left(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{-2}{\sqrt{13}}\right).
- A direção da bissetriz é a soma: \left(1+\frac{3}{\sqrt{13}},\,\frac{-2}{\sqrt{13}}\right). Multiplicando por \sqrt{13}, fica (\sqrt{13}+3,\,-2).
- Um vetor normal à reta é (2,\ \sqrt{13}+3), pois o produto escalar com a direção é zero.
- A reta passa por A(1,2):
2(x-1)+(\sqrt{13}+3)(y-2)=0
- Desenvolvendo: 2x+(3+\sqrt{13})y-2-2\sqrt{13}-6=0, ou seja,
2x+(3+\sqrt{13})y-(2\sqrt{13}+8)=0
A direção (\sqrt{13}+3,-2) aponta para baixo e para a direita, em direção ao lado BC. Logo, a reta é a bissetriz interna.
Alternativa B.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Atroca o sinal de \sqrt{13} no coeficiente de y, o que corresponde à bissetriz externa ou a uma diferença de vetores.
- Cnão corresponde à direção da soma dos vetores unitários; a normal (1,4+\sqrt{13}) está errada.
- Dtambém usa uma normal incorreta, com 4-\sqrt{13} no coeficiente de y.
- Etroca os coeficientes de x e y, o que gera uma reta com inclinação errada.
Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ponto e reta no plano cartesiano.
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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗