PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2025

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

O número de soluções da equação cos^3(x) + sen^3(x) + \frac{1}{2}sen(2x) = 1 no intervalo [0,2\pi) é

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. E
    4
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Resolução comentada

Chame t=\cos x+\sen x. Então t^2=1+2\sen x\cos x, ou seja, \sen x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}. Note que \frac12\sen(2x)=\sen x\cos x.

A soma de cubos fica:

\cos^3x+\sen^3x=t^3-3\sen x\cos x\,t=t^3-\frac{3t(t^2-1)}{2}=\frac{3t-t^3}{2}.

Substituindo na equação:

  1. \dfrac{3t-t^3}{2}+\dfrac{t^2-1}{2}=1
  2. 3t-t^3+t^2-1=2
  3. t^3-t^2-3t+3=0
  4. (t-1)(t^2-3)=0, logo t=1 ou t=\pm\sqrt3.

Como \cos x+\sen x=\sqrt2\,\sen\left(x+\frac{\pi}{4}\right) está entre -\sqrt2 e \sqrt2, os valores \pm\sqrt3 são impossíveis. Resta t=1:

\sen\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}.

Em [0,2\pi), x+\frac{\pi}{4} está em \left[\frac{\pi}{4},\frac{9\pi}{4}\right), e nesse intervalo isso dá x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4} ou \frac{3\pi}{4}. Portanto x=0 ou x=\frac{\pi}{2}.

Conferindo: em x=0, 1+0+0=1; em x=\frac{\pi}{2}, 0+1+0=1. Há 2 soluções.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAs soluções x=0 e x=\pi/2 satisfazem a equação, então ela não é impossível.
  • BConta só uma das duas soluções de \cos x+\sen x=1.
  • DAceita as raízes t=\pm\sqrt3, que são impossíveis pois |\cos x+\sen x|\le\sqrt2.
  • EConta também soluções falsas de t=\pm\sqrt3 ou duplica as raízes da equação em t.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗