PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2025

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Seja I o incentro do triângulo ABC e L a interseção da semi-reta \overrightarrow{AI} com a circunferência circunscrita ao triângulo ABC, com A e L distintos.

Dado que \overline{AB} + \overline{AC} = 2\overline{BC}, o valor de \frac{\overline{BL}}{\overline{AL}} é

  1. A
    \frac{1}{2}
  2. B
    1
  3. C
    \frac{3}{2}
  4. D
    2
  5. E
    \frac{5}{2}
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Resolução comentada

Use o lema do incentro (teorema do "pé da galinha"): L é o ponto médio do arco BC, então LB = LC = LI.

Seja a = BC, b = AC, c = AB. Aplicamos o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero cíclico ABLC, cujas diagonais são AL e BC:

AL\cdot BC = AB\cdot LC + AC\cdot BL

Como BL = LC, temos:

AL\cdot a = (b + c)\cdot BL

A condição do enunciado diz que b + c = 2a. Substituindo:

AL\cdot a = 2a\cdot BL \;\Rightarrow\; AL = 2\,BL

Logo:

\frac{BL}{AL} = \frac{1}{2}

Verificação rápida: num triângulo equilátero de lado 1, b + c = 2 = 2a. O ponto L é o oposto de A no círculo, com AL = 2R = \frac{2}{\sqrt3} e BL = R = \frac{1}{\sqrt3}, razão \frac12. Confere.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem inverte a razão e responde AL/BL=2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BSupõe BL=AL, o que ignora a condição AB+AC=2BC no Ptolomeu.
  • CValor sem relação com Ptolomeu; não decorre da relação AL=2BL.
  • DInverte a razão, calculando AL/BL em vez de BL/AL.
  • EValor sem base na relação obtida; não corresponde a nenhum cálculo correto.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: IME 2025 · Prova objetiva. Prova oficial ↗