PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Sejam dois dados cúbicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro (com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabilidade de ocorrência. Com um único lançamento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontuação com o dodecaedro do que com os dois dados cúbicos somados é:

  1. A
    2/3
  2. B
    1/6
  3. C
    7/36
  4. D
    5/12
  5. E
    3/16
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Resolução comentada

Chamamos de S a soma dos dois dados cúbicos e de D o resultado do dodecaedro. Queremos P(D>S).

Como os dados são independentes, fixamos cada valor possível de S e vemos quantas faces do dodecaedro são maiores que ele. Se S=s, há 12-s faces favoráveis, então a probabilidade é \frac{12-s}{12}.

Primeiro, a distribuição de S (em 36 casos igualmente prováveis):

s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
casos 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Agora multiplicamos o número de casos por 12-s:

  1. 1\cdot10=10
  2. 2\cdot9=18
  3. 3\cdot8=24
  4. 4\cdot7=28
  5. 5\cdot6=30
  6. 6\cdot5=30
  7. 5\cdot4=20
  8. 4\cdot3=12
  9. 3\cdot2=6
  10. 2\cdot1=2
  11. 1\cdot0=0

A soma é 180.

O total de resultados possíveis é 36\cdot12=432. Logo:

P=\frac{180}{432}=\frac{5}{12}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor muito alto; não corresponde à contagem dos casos em que o dodecaedro supera a soma.
  • BValor muito baixo, sem relação com a contagem correta dos casos favoráveis.
  • CResulta de erro na contagem dos casos favoráveis ou do espaço amostral, não de 180/432.
  • EResulta de erro na contagem dos casos favoráveis ou do espaço amostral, não de 180/432.

Assuntos: probabilidade, soma de dados.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗