PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 11 do IME 2024
O valor de n \in \mathbb{N} tal que
\operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) + \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{4}\right) + \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{5}\right) + \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{n}\right) = \frac{\pi}{4}
é:
- A10
- B6
- C7
- D47
- E52
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
Use a soma de arcotangentes: \operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg}\dfrac{a+b}{1-ab}, válida quando ab<1.
-
Somando as duas primeiras: \dfrac{\frac13+\frac14}{1-\frac1{12}} = \dfrac{7/12}{11/12} = \dfrac{7}{11}.
-
Somando com \operatorname{arctg}\frac15: \dfrac{\frac7{11}+\frac15}{1-\frac7{55}} = \dfrac{(35+11)/55}{48/55} = \dfrac{46}{48} = \dfrac{23}{24}.
-
Como cada produto é menor que 1, os arcos somados ficam em (0,\pi/2) e a fórmula vale. Então:
\operatorname{arctg}\frac{23}{24} + \operatorname{arctg}\frac1n = \frac{\pi}{4}
- Isolando: \operatorname{arctg}\frac1n = \frac{\pi}{4} - \operatorname{arctg}\frac{23}{24}. Aplicando a tangente e usando \operatorname{tg}(a-b)=\dfrac{\operatorname{tg}a-\operatorname{tg}b}{1+\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b}:
\frac1n = \frac{1-\frac{23}{24}}{1+\frac{23}{24}} = \frac{1/24}{47/24} = \frac1{47}
Logo n=47.
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AValor sem relação com o cálculo; não resulta de \frac{1}{n}=\frac{1}{47}.
- BResulta de erro na soma das frações; o correto dá \frac{23}{24} e depois \frac1{47}.
- CNão decorre da subtração de \frac{\pi}{4} menos o arco de \frac{23}{24}, que dá \frac1{47}.
- EConfunde 47 com 52 ao subtrair; o denominador correto é 24+23=47.
Assuntos: arcotangente, soma de arcos, trigonometria.
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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗