PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do IME 2024

Prova objetiva · Matemática

Seja i tal que i^2 = -1. Seja A dado pela equação:

A = \sum_{n=1}^{1000} \left[ (i)^{2n-2} \ln \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{(-1)^{n-1}} \right]

O valor de e^{-A} é:

  1. A
    250
  2. B
    500
  3. C
    501
  4. D
    1000
  5. E
    1001
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Resolução comentada

Primeiro, simplifique a potência de i:

i^{2n-2}=(i^2)^{n-1}=(-1)^{n-1}

Pela propriedade do logaritmo de uma potência, \ln x^{k}=k\ln x. Então:

\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{(-1)^{n-1}}=(-1)^{n-1}\ln\frac{n+1}{n+2}

Cada termo da soma fica, portanto:

(-1)^{n-1}\cdot(-1)^{n-1}\ln\frac{n+1}{n+2}=\left[(-1)^{n-1}\right]^2\ln\frac{n+1}{n+2}=\ln\frac{n+1}{n+2}

O sinal some, pois (-1)^{2(n-1)}=1.

Agora some usando a propriedade da soma de logaritmos:

  1. A=\sum_{n=1}^{1000}\ln\dfrac{n+1}{n+2}=\ln\left(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdots\dfrac{1001}{1002}\right)
  2. O produto é telescópico: sobram só o primeiro numerador e o último denominador, \dfrac{2}{1002}=\dfrac{1}{501}.
  3. Logo A=\ln\dfrac{1}{501}=-\ln 501.

Portanto:

e^{-A}=e^{\ln 501}=501

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem ligação com o produto telescópico, que dá 1/501; não resulta de nenhuma simplificação correta.
  • BTambém não vem do produto telescópico; parece metade de 1000, sem base na conta.
  • DUsa o número de termos da soma (1000) em vez de calcular o produto 2/1002.
  • EEsquece de simplificar 2/1002 para 1/501 ou erra o último termo do produto, usando 1001.

Assuntos: logaritmos, soma telescópica, potências de i.

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Fonte: IME 2024 · Prova objetiva. Prova oficial ↗