Questão 8 do IME 2022

Os pares (s,t) possíveis satisfazem s>0, t>0 e s+t<r. Isso forma um triângulo retângulo de catetos r, com área \frac{r^2}{2}.

Três segmentos formam um triângulo quando cada um é menor que a soma dos outros dois. Como o total é s+t+(r-s-t)=r, cada lado deve ser menor que \frac{r}{2}.

Condições:

1. s<\frac{r}{2}
2. t<\frac{r}{2}
3. r-s-t<\frac{r}{2}, ou seja, s+t>\frac{r}{2}

No plano st, a região favorável fica dentro do triângulo maior. Ela é limitada por s<\frac r2, t<\frac r2 e s+t>\frac r2. Seus vértices são (\frac r2,0), (0,\frac r2) e (\frac r2,\frac r2). Isso é um triângulo retângulo de catetos \frac r2, com área:

A probabilidade é a razão entre as áreas:

Observe que o vértice (\frac r2,\frac r2) está sobre a reta s+t=r, no limite do triângulo maior, então a região favorável cabe inteira nele.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a razão entre as áreas; não aplica a condição de que cada lado seja menor que r/2.
• BConfunde com a razão de lados (1/2) em vez de áreas, ou usa o quadrado [0,r]^2 de forma errada.
• CNão corresponde à razão das áreas; ignora que a região favorável é um triângulo de catetos r/2.
• EToma a região complementar (3/4) em vez da região favorável.

Assuntos: probabilidade geométrica, desigualdade triangular.

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