PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operação de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a operação, em cada quadrado remanescente, obtem-se a Figura C. Qual será a área remanescente, a partir da quadrado da Figura A, ao final de 10 operações?

Três etapas de corte de um quadrado, identificadas como Figura A, Figura B e Figura C. A Figura A mostra um quadrado inteiramente cinza. A Figura B mostra cinco quadrados cinza de lado igual a um terço do lado original, dispostos no centro e nos quatro cantos de uma malha de três por três, tocando-se pelos vértices. A Figura C mostra a repetição do mesmo corte em cada um dos cinco quadrados da Figura B, resultando em 25 quadrados cinza menores, organizados em cinco grupos com um quadrado central e quatro nos cantos.

  1. A
    \dfrac{5^9L^2}{9^9}
  2. B
    \dfrac{5^{10}L^2}{9^{10}}
  3. C
    \dfrac{5^{11}L^2}{9^{11}}
  4. D
    \left(\dfrac{9^{10}-5^{10}}{9^{10}}\right)L^2
  5. E
    \left(\dfrac{5^{10}-9^{10}}{9^{10}}\right)L^2
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Resolução comentada

Em cada operação, o quadrado é dividido em uma malha 3\times3 de quadradinhos de lado \frac{L}{3}. Ficam 5 deles (o central e os quatro dos cantos) e os outros 4 são retirados.

Vamos ver o que acontece com a área remanescente:

  1. Figura A: área L^2.
  2. Figura B: 5 quadrados de lado \frac{L}{3}, cada um com área \frac{L^2}{9}. Área total: \frac{5}{9}L^2.
  3. Figura C: cada um dos 5 quadrados gera outros 5, ou seja, 25 quadrados de lado \frac{L}{9}, cada um com área \frac{L^2}{81}. Área total: \frac{25}{81}L^2 = \left(\frac{5}{9}\right)^2L^2.

A cada operação, a área é multiplicada por \frac{5}{9} (cada quadrado mantém 5 dos 9 quadradinhos iguais). Logo, é uma progressão geométrica de razão \frac{5}{9}, e após n operações:

A_n = \left(\frac{5}{9}\right)^n L^2

Para n=10:

A_{10} = \frac{5^{10}}{9^{10}}L^2

O enunciado pergunta pela área remanescente, isto é, a que sobrou, e não a que foi cortada.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem confunde a área removida com a remanescente.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa 9 operações (expoente 9) em vez de 10.
  • Cusa expoente 11, contando uma operação a mais.
  • Dcalcula a área removida (L² menos a remanescente), não a que sobrou.
  • Eé negativa, o que é impossível para uma área; inverte a subtração.

Assuntos: progressão geométrica, área de quadrados, fractais.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗