Questão 7 do IME 2022

Pelas relações de Girard para x^3+p_1x^2+p_2x+p_3=0:

• soma das raízes: -p_1
• produto das raízes: -p_3

A razão pedida é então

Para que ela seja a maior possível, p_1 deve ser grande e p_3 deve ficar o mais perto possível de p_1. Como p_1<p_2<p_3 são primos, o melhor caminho é usar três primos consecutivos, com a menor diferença p_3-p_1 relativa ao tamanho deles.

Testando ternas de primos consecutivos menores que 100:

1. (41,43,47): 41/47\approx 0{,}872
2. (59,61,67): 59/67\approx 0{,}881
3. (67,71,73): 67/73\approx 0{,}918
4. (71,73,79): 71/79\approx 0{,}899
5. (79,83,89): 79/89\approx 0{,}888
6. (83,89,97): 83/97\approx 0{,}856

A maior razão ocorre em (67,71,73), pois a diferença entre o maior e o menor é só 6, já com primos grandes. Os outros casos de diferença 6, como (41,43,47), têm primos menores e razão menor.

Assim, p_2+p_3=71+73=144.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• B152 = 73+79, vem da terna (71,73,79), cuja razão (≈0,899) é menor que a de (67,71,73).
• C162 = 79+83, vem da terna (79,83,89), que dá razão menor (≈0,888).
• D172 = 83+89, vem da terna (83,89,97), com razão ≈0,856.
• E196 = 97+99; 99 não é primo e a soma não corresponde a nenhuma terna válida (89+97 = 186).

Assuntos: relações de Girard, números primos.

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