Questão 6 do IME 2022

O módulo de uma potência é a potência do módulo: |z| = |1-2\sqrt{2}i|^{12}.

1. Módulo da base: |1-2\sqrt{2}i| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+8} = 3.
2. Então m = 3^{12}.
3. Substituindo na expressão: 2x = \log_m(27m) = \log_m 27 + \log_m m = \log_m 27 + 1.
4. Calculando \log_m 27: como 27 = 3^3 e m = 3^{12}, temos \log_{3^{12}} 3^3 = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}.
5. Logo 2x = \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{5}{4}.
6. Portanto x = \dfrac{5}{8}.

Conferindo: m^{5/4} = 3^{15} = 27\cdot 3^{12} = 27m. ✓

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão aplica corretamente a mudança de base e erra a divisão final do valor de 2x.
• BResultado sem relação com o cálculo correto de 2x = 5/4 e x = 5/8.
• DEsquece de dividir 2x = 5/4 por 2 e ainda erra a escala, chegando a valor absurdo.
• ECalcula \log_m 27 = 1/4 mas erra ao somar a parcela \log_m m = 1.

Assuntos: números complexos, módulo de potência, logaritmos.

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