Questão 5 do IME 2022

Reescreva a expressão agrupando em \alpha:

Quando \alpha varia em \mathbb{R}, o ponto z_2+\alpha(z_1-z_2) percorre a reta que passa por z_1 e z_2 (possível porque z_1\neq z_2). Assim, |z_2+\alpha(z_1-z_2)-z_3| é a distância de z_3 a um ponto dessa reta. O menor valor é a distância de z_3 à reta, ou seja, a altura h do triângulo de vértices z_1,z_2,z_3 relativa ao lado z_1z_2.

Os três pontos estão na circunferência de centro na origem e raio R=4. Chame os lados de a=|z_1-z_2|, b=|z_3-z_2| e c=|z_3-z_1|.

1. Área do triângulo inscrito: S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{abc}{16}.
2. Área pela base a: S=\dfrac{a\,h}{2}.
3. Igualando: h=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{2bc}{16}=\dfrac{bc}{8}.

Portanto o menor valor é

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A|z_1+z_2| não tem relação com a distância de z_3 à reta z_1z_2.
• B\frac14|z_1-z_2| depende só do lado z_1z_2 e ignora a posição de z_3.
• D|z_1-z_2-z_3| não representa a distância de z_3 à reta.
• E|z_3|=4 é a distância de z_3 à origem, não à reta.

Assuntos: números complexos, distância ponto-reta, triângulo inscrito.

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