PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Quantos pares ordenados (x, y) de números inteiros satisfazem a equação 1/x + 1/y = 1/23 ?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Multiplicando a equação por 23xy (com x,y\neq 0):

23y + 23x = xy \iff xy - 23x - 23y = 0

Somando 23^2 dos dois lados, para fatorar:

(x-23)(y-23) = 529 = 23^2

Como 23 é primo, os divisores inteiros de 529 são \pm1,\ \pm23,\ \pm529. Cada divisor d = x-23 gera um par, com y-23 = 529/d:

  1. d=1: (x,y)=(24,552)
  2. d=529: (x,y)=(552,24)
  3. d=23: (x,y)=(46,46)
  4. d=-1: (x,y)=(22,-506)
  5. d=-529: (x,y)=(-506,22)
  6. d=-23: (x,y)=(0,0), que não vale, pois x e y não podem ser zero (denominador).

Confira o caso 4: \frac{1}{22}-\frac{1}{506}=\frac{23-1}{506}=\frac{22}{506}=\frac{1}{23}. Vale.

Sobram 5 pares válidos: (24,552), (552,24), (46,46), (22,-506), (-506,22).

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de descartar o par (0,0) ou conta mal os divisores negativos; o par (0,0) aparece na fatoração mas é inválido.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só o par simétrico (46,46), ignorando os demais divisores.
  • BConsidera apenas (24,552) e (552,24), esquecendo os divisores negativos e o caso 23\cdot23.
  • CConta só os divisores positivos de 529, esquecendo os negativos.
  • DConta os 6 divisores e desconta errado, ou esquece o par (46,46); o correto é 6 menos o par (0,0) inválido.

Assuntos: equações diofantinas, fatoração, divisores de um número.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Prova objetiva do IME 2022

Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗