Questão 3 do IME 2022

Primeiro, simplifique a função. O trinômio x^2-x+\frac{7}{12} tem discriminante 1-\frac{7}{3}<0 e coeficiente de x^2 positivo, então é sempre positivo. Logo \left|-\frac{7}{12}+x-x^2\right| = x^2-x+\frac{7}{12} = g(x).

Pela propriedade do logaritmo de potência, f(x)=(3x-1)\ln g(x).

No ponto x=\frac13 o fator 3x-1 vale zero, então f\left(\frac13\right)=0. O ponto dado é \left(\frac13,0\right).

Uma reta que passa por esse ponto e corta o gráfico em outro ponto (x,f(x)), com x\ne\frac13, tem coeficiente angular:

Assim, os coeficientes angulares possíveis são os valores de 3\ln g(x). Como \ln é crescente, o menor valor ocorre onde g é mínimo.

1. O mínimo de g está no vértice, em x=\frac12.
2. g\left(\frac12\right)=\frac14-\frac12+\frac{7}{12}=\frac{3-6+7}{12}=\frac13.
3. O ponto x=\frac12 é diferente de \frac13, então a reta é de fato secante.

O menor coeficiente angular é 3\ln\frac13=-3\ln 3.

Como verificação, a tangente em x=\frac13 tem inclinação 3\ln\frac{13}{36}. Esse valor é maior que 3\ln\frac{12}{36}, então não é o menor.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa só a derivada em x=\frac13 (tangente) em vez de minimizar a inclinação das secantes.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem relação com o mínimo de 3\ln g(x); erra o fator 3 e o valor de g no vértice.
• CÉ a inclinação da tangente em x=\frac13, ou seja, 3\ln g\left(\frac13\right), que não é o mínimo de g.
• DZero é o valor de f no ponto, não um coeficiente angular mínimo; 3\ln g(x) assume valores negativos.
• EValor positivo sem fundamento; o mínimo é negativo.

Assuntos: função logarítmica, função quadrática, coeficiente angular.

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