PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Seja B o conjunto de todos os valores de x \in \mathbb{R} para os quais a soma dos termos da progressão

-\frac{4}{3x},\ \frac{16}{9x^2},\ -\frac{64}{27x^3},\ \frac{256}{81x^4},\ \cdots

assume um valor finito. Define-se a função f : B \to \mathbb{R}, para cada x \in B, tal que

f(x) = -\frac{4}{3x} + \frac{16}{9x^2} - \frac{64}{27x^3} + \frac{256}{81x^4} - \cdots

A soma das raízes da equação f(x) = -x, x \in B, é:

  1. A
    0
  2. B
    -2
  3. C
    -4/3
  4. D
    2/3
  5. E
    4/3
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Resolução comentada

A sequência é uma PG de primeiro termo a_1=-\frac{4}{3x} e razão q=\frac{16/(9x^2)}{-4/(3x)}=-\frac{4}{3x}.

A soma é finita quando |q|<1:

\left|\frac{4}{3x}\right|<1 \Rightarrow |x|>\frac{4}{3}

Logo B=\{x\in\mathbb{R}: |x|>4/3\}.

A soma da PG infinita é \frac{a_1}{1-q}:

f(x)=\frac{-\frac{4}{3x}}{1+\frac{4}{3x}}=\frac{-4}{3x+4}

Agora resolvemos f(x)=-x:

  1. \dfrac{-4}{3x+4}=-x \Rightarrow 4=x(3x+4)
  2. 3x^2+4x-4=0
  3. \Delta=16+48=64, então x=\dfrac{-4\pm 8}{6}, ou seja, x=\frac{2}{3} ou x=-2.

Verificando se pertencem a B: x=\frac{2}{3} tem |x|<\frac{4}{3}, então não pertence a B e deve ser descartada. Já x=-2 tem |x|=2>\frac{4}{3}, então pertence.

A única raiz em B é -2, e a soma das raízes é -2.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana: é a soma das duas raízes da quadrática, mas x=2/3 não pertence a B e precisa ser descartada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma soma de raízes; seria o resultado de somar raízes simétricas, o que não ocorre aqui.
  • CÉ a soma das duas raízes da equação do 2º grau, -b/a=-4/3, sem descartar a que não está em B.
  • DÉ apenas a raiz 2/3, que não pertence a B pois |x|<4/3.
  • EResulta de erro de sinal na soma das raízes da quadrática (+4/3) e ignora a condição de B.

Assuntos: progressão geométrica infinita, convergência, equação do 2º grau.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗