PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Considere os triângulos \triangle ABC em que \overline{BC} = 32 e \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = 3. O maior valor possível para a altura relativa ao lado \overline{BC} é:

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. C
    10
  4. D
    11
  5. E
    12
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

O lugar geométrico dos pontos A tais que \frac{AB}{AC}=3 (constante diferente de 1) é uma circunferência de Apolônio. A altura relativa a BC é a distância de A à reta BC, e seu maior valor é o raio dessa circunferência, atingido quando A está acima do centro.

Passo a passo, com B=(0,0) e C=(32,0):

  1. AB=3\,AC equivale a x^2+y^2=9\left[(x-32)^2+y^2\right].
  2. Desenvolvendo: x^2+y^2=9x^2-576x+9216+9y^2, ou seja, 8x^2+8y^2-576x+9216=0.
  3. Dividindo por 8: x^2+y^2-72x+1152=0.
  4. Completando o quadrado: (x-36)^2+y^2=1296-1152=144.

A circunferência tem centro (36,0), sobre a reta BC, e raio \sqrt{144}=12.

Como o centro está sobre a reta BC, o ponto mais alto da circunferência fica a 12 unidades da reta, e esse é o maior valor possível da altura y.

Conferência pelas divisões internas e externas: o ponto que divide BC internamente na razão 3:1 é x=24, e o externo é x=48. O diâmetro vai de 24 a 48, ou seja, 24, e o raio vale 12. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o raio da circunferência de Apolônio; não resulta de nenhum passo correto.
  • BValor sem justificativa; não corresponde ao raio 12 obtido na equação do lugar geométrico.
  • CResultaria de erro de conta ao completar quadrados; o raio correto é \sqrt{144}.
  • DValor próximo, mas o raio é exatamente 12, não 11.

Assuntos: circunferência de Apolônio, geometria analítica, lugar geométrico.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Prova objetiva do IME 2022

Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗