PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Seja o cone de revolução de raio de base R e altura \frac{3R}{2} com a base apoiada em um solo horizontal.

Um ponto luminoso está localizado a uma altura 3R do solo e distante, horizontalmente, 2R do centro da base do cone. A área S da região iluminada no cone é:

  1. A
    \pi R^2 \sqrt{13}
  2. B
    2\pi R^2 \frac{\sqrt{13}}{3}
  3. C
    \pi R^2 \frac{\sqrt{13}}{2}
  4. D
    \pi R^2 \frac{\sqrt{13}}{3}
  5. E
    \frac{13}{4} \pi R^2
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Resolução comentada

A luz está em P=(2R,\,0,\,3R) e o vértice do cone em V=(0,\,0,\,\tfrac{3R}{2}). Vamos achar a fronteira entre a parte iluminada e a parte na sombra.

  1. A reta PV continua além de V e toca o solo em um ponto Q. De P até V o deslocamento é (-2R,\,0,\,-\tfrac{3R}{2}). Somando o mesmo deslocamento a V, a altura vira 0 e Q=(-2R,\,0,\,0). Ou seja, Q está a 2R do centro da base.

  2. Os planos tangentes ao cone que passam por P também passam por V e, portanto, por Q. Eles tocam o cone nas geratrizes que terminam nos pontos de tangência da base traçados a partir de Q.

  3. Para o círculo de raio R e o ponto externo Q a distância 2R do centro, o ângulo no centro entre OQ e o raio até o ponto de tangência satisfaz \cos\theta=\dfrac{R}{2R}=\dfrac12, logo \theta=60^\circ.

  4. Os pontos de tangência ficam a 60^\circ de cada lado de OQ. O arco do lado de Q entre eles mede 120^\circ e fica na sombra. O arco do lado de P mede 360^\circ-120^\circ=240^\circ e é o iluminado.

  5. Área lateral total: a geratriz mede g=\sqrt{R^2+\tfrac{9R^2}{4}}=\dfrac{R\sqrt{13}}{2}, então

    A_{lat}=\pi R g=\frac{\pi R^2\sqrt{13}}{2}.

  6. A parte iluminada é \dfrac{240^\circ}{360^\circ}=\dfrac23 dessa área:

    S=\frac23\cdot\frac{\pi R^2\sqrt{13}}{2}=\frac{\pi R^2\sqrt{13}}{3}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem esquece a sombra e usa a área lateral inteira, \pi R^2\sqrt{13}/2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado sem relação com a área lateral nem com a fração iluminada.
  • BDobra o resultado correto, como se a parte iluminada fosse 4/3 da área lateral, o que é impossível.
  • CÉ a área lateral total do cone; ignora a parte que fica na sombra.
  • EValor sem justificativa geométrica, que não decorre da área lateral nem da fração iluminada.

Assuntos: cone, geometria espacial, área lateral.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗