Questão 13 do IME 2022

Question

Considere o ponto A(-4, 2) e B um ponto variável sobre o eixo das ordenadas. Traçam-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abcissas em C. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das abcissas traçada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por B. A equação desse lugar geométrico é:

A
x^2 = 4y + 1
B
y^2 = 4x
C
y = -x + 2
D
x^2 + (y - 2)^2 = 4
E
(y - 1)^2 = 4x + 1

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Considere o ponto A(-4, 2) e B um ponto variável sobre o eixo das ordenadas. Traçam-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abcissas em C. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das abcissas traçada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por B. A equação desse lugar geométrico é:

A
x^2 = 4y + 1
B
y^2 = 4x
C
y = -x + 2
D
x^2 + (y - 2)^2 = 4
E
(y - 1)^2 = 4x + 1

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Resolução comentada

Seja B(0, b). A reta AB tem coeficiente angular m_{AB} = \frac{b-2}{0-(-4)} = \frac{b-2}{4}.

A perpendicular a AB por B tem coeficiente -\frac{4}{b-2}, com b \neq 2. Sua equação é y - b = -\frac{4}{b-2}\,x.

Para achar C no eixo das abscissas, faça y = 0:

-b = -\frac{4x}{b-2} \Rightarrow x = \frac{b(b-2)}{4}

Assim, C\left(\frac{b(b-2)}{4},\,0\right).

O ponto P(x, y) procurado está na vertical por C e na horizontal por B. Logo:

a abscissa de P é a de C: x = \frac{b(b-2)}{4};
a ordenada de P é a de B: y = b.

Substituindo b = y:

x = \frac{y(y-2)}{4} \Rightarrow 4x = y^2 - 2y

Completando o quadrado, 4x + 1 = y^2 - 2y + 1, ou seja:

(y-1)^2 = 4x + 1

Confira com b = 4: C tem x = \frac{4\cdot 2}{4} = 2, então P(2, 4). Na equação: (4-1)^2 = 9 = 4\cdot 2 + 1. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEquação de parábola com eixo vertical, que não surge de x = y(y-2)/4.
BEsqueceria o termo -2y, ou seja, ignora que A tem ordenada 2 e usaria A na origem.
CÉ uma reta; o lugar geométrico é uma parábola, pois x é quadrático em y.
DÉ uma circunferência, incompatível com 4x = y^2 - 2y.

Assuntos: lugar geométrico, retas perpendiculares, geometria analítica.

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Questão 13 no caderno Prova objetiva do IME 2022

Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗