PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do IME 2022

Prova objetiva · Matemática

Para cada número n natural, seja a função real f_n(x) definida para cada x \in \mathbb{R}, tal que x \neq (k + 1)\pi/2, \forall k \in \mathbb{Z}, de forma que:

f_n(x) = \frac{[\mathbf{tg}(x)]^n + 1}{n[\mathbf{sec}(x)]^n}

A função g(x) que atende g(x) = f_6(x) - f_4(x) + \frac{1}{3} é:

  1. A
    \cos(x) + 3
  2. B
    \frac{1}{4}
  3. C
    \text{sen}(x) - 2
  4. D
    \frac{1}{12}
  5. E
    \mathbf{tg}(x) - \frac{1}{3}
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Resolução comentada

Primeiro, simplifique f_n. Como \text{tg}\,x=\dfrac{\text{sen}\,x}{\cos x} e \sec x=\dfrac{1}{\cos x}, vale \dfrac{1}{\sec^n x}=\cos^n x. Então:

f_n(x)=\frac{\text{tg}^n x\cdot\cos^n x+\cos^n x}{n}=\frac{\text{sen}^n x+\cos^n x}{n}

Agora calcule f_6 e f_4 usando \text{sen}^2x+\cos^2x=1. Escreva p=\text{sen}^2x\cos^2x.

  1. \text{sen}^4x+\cos^4x=(\text{sen}^2x+\cos^2x)^2-2p=1-2p, logo f_4=\dfrac{1-2p}{4}.
  2. \text{sen}^6x+\cos^6x=(\text{sen}^2x+\cos^2x)^3-3p(\text{sen}^2x+\cos^2x)=1-3p, logo f_6=\dfrac{1-3p}{6}.
  3. Subtraindo:
    f_6-f_4=\frac16-\frac p2-\frac14+\frac p2=-\frac1{12}
  4. Somando \dfrac13:
    g(x)=-\frac1{12}+\frac4{12}=\frac3{12}=\frac14

Os termos com p se cancelam, então g é constante.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana: -\frac1{12} aparece no meio da conta, e a versão positiva \frac1{12} vem de esquecer a soma com \frac13 e errar o sinal.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMantém uma função de x, mas os termos em \text{sen}^2x\cos^2x se cancelam e g é constante.
  • CMantém uma função de x, mas os termos em \text{sen}^2x\cos^2x se cancelam e g é constante.
  • DÉ o valor de f_6-f_4; esqueceu de somar \frac13.
  • EMantém uma função de x, mas os termos em \text{sen}^2x\cos^2x se cancelam e g é constante.

Assuntos: identidades trigonométricas, simplificação de funções trigonométricas.

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Fonte: IME 2022 · Prova objetiva. Prova oficial ↗