Questão 8 do IME 2021

A equação funcional relaciona f em dois pontos diferentes. A ideia é aplicar a transformação x \mapsto \frac{x-1}{x} repetidamente até voltar ao ponto inicial e montar um sistema.\n\nPara x=2: \frac{2-1}{2}=\frac12.\nPara x=\frac12: \frac{1/2-1}{1/2}=-1.\nPara x=-1: \frac{-1-1}{-1}=2. O ciclo fecha em 2 \to \frac12 \to -1 \to 2, e todos esses valores estão em D.\n\nEscrevendo a equação f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f(x)=x+2 em cada ponto, e chamando a=f(2), b=f(1/2), c=f(-1):\n\n1. x=2: b + a = 4\n2. x=\frac12: c + b = \frac12+2=\frac52\n3. x=-1: a + c = -1+2=1\n\nSomando as três: 2(a+b+c)=4+\frac52+1=\frac{15}{2}, logo a+b+c=\frac{15}{4}.\n\nSubtraindo a equação 2 do total: a=\frac{15}{4}-\frac52=\frac{15}{4}-\frac{10}{4}=\frac54.\n\nConferindo: b=4-\frac54=\frac{11}{4}, c=1-\frac54=-\frac14, e b+c=\frac{10}{4}=\frac52 ✓.\n\nAlternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem relação com o sistema; resulta de erro na soma das equações do ciclo.
• CConfunde f(2) com o argumento \frac{2-1}{2}=\frac12, sem resolver o sistema.
• DNão satisfaz o sistema: daria b=3 e c=0, e b+c=3\neq\frac52.
• EErro de conta ao isolar a; não satisfaz as três equações.

Assuntos: equação funcional, sistema linear.

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