PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de Maria ao final do torneio é \frac{p}{q}, com p e q primos entre si, o valor de p + q é:

  1. A
    5
  2. B
    19
  3. C
    257
  4. D
    419
  5. E
    4097
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Resolução comentada

Depois da primeira partida, José tem 1 ponto e Maria tem 0. Cada um ainda joga 4 partidas, contra os outros 4 participantes. Essas 8 partidas são distintas, então os resultados de José e de Maria são independentes.

Sejam X e Y o número de vitórias de José e de Maria nessas 4 partidas. Cada uma segue uma binomial B(4,\tfrac12).

José termina à frente se 1+X>Y, ou seja, se X\ge Y.

  1. Os casos X>Y e X<Y são simétricos e têm a mesma probabilidade. Logo P(X\ge Y)=\dfrac{1+P(X=Y)}{2}.

  2. Calculando o empate:

    P(X=Y)=\sum_{k=0}^{4}\frac{\binom4k^2}{2^8}=\frac{1+16+36+16+1}{256}=\frac{70}{256}=\frac{35}{128}.

  3. Então:

    P=\frac{1+\frac{35}{128}}{2}=\frac{163}{256}.

Como 163 é primo, a fração já é irredutível. Assim p+q=163+256=419.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor pequeno demais, sem relação com a fração obtida; não corresponde a nenhuma probabilidade correta.
  • BNão corresponde ao cálculo; soma obtida de uma fração mal simplificada ou de contagem errada.
  • CVem de uma contagem errada, como usar 256 mais 1 ou considerar só o denominador.
  • ECorresponde a 4096+1, ou seja, considera mais partidas do que as 8 restantes relevantes.

Assuntos: probabilidade, distribuição binomial, combinatória.

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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗