Questão 7 do IME 2021

A área é A=\int_2^{10}\ln x\,dx=[x\ln x - x]_2^{10}=(10\ln 10-10)-(2\ln 2-2)=10\ln 10-2\ln 2-8.

Numericamente: \ln 10\approx 2{,}3026 e \ln 2\approx 0{,}6931, então A\approx 23{,}026-1{,}386-8=13{,}640.

Como \ln x é crescente, podemos comparar com somas de retângulos: a integral fica entre a soma inferior e a superior com passo 1, ou seja, \sum_{k=2}^{9}\ln k<A<\sum_{k=3}^{10}\ln k. Isso dá \ln(9!)<A<\ln(10!)-\ln 2.

Valores: 9!=362880, \ln(9!)\approx 12{,}80; \ln(10!)\approx 15{,}10, então \ln(10!)-\ln 2\approx 14{,}40. Confere com A\approx13{,}64.

Testando as alternativas:

(A) \ln(20^4)=4\ln 20\approx 11{,}98. A>11{,}98, falsa.

(B) \ln(\ln 9!)\approx\ln 12{,}8\approx 2{,}55 e \ln A\approx\ln 13{,}64\approx 2{,}61. O limite superior é 2+12{,}80=14{,}80, e 2{,}61\le 14{,}8. Verdadeira.

(C) A\ge 14{,}40? Não, 13{,}64<14{,}40. Falsa.

(D) e^{-A}\approx e^{-13{,}64}, e 1/9!=e^{-12{,}80} é maior que e^{-A}, então 1/9!\le e^{-A} é falsa.

(E) O limite superior é 10\ln10-2\ln2-10\approx 11{,}64<A. Falsa.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A\ln(20^4)\approx 11{,}98 é menor que A\approx 13{,}64, então A\le\ln(20^4) é falsa.
• C\ln(10!)-\ln 2\approx 14{,}40 é cota superior de A, não inferior; A\approx13{,}64.
• De^{-A}<e^{-\ln 9!}=1/9!, então a desigualdade 1/9!\le e^{-A} está invertida.
• EEsquece de somar o +2 da primitiva em x=2: o limite superior \approx 11{,}64 fica abaixo de A.

Assuntos: integral definida, área sob a curva, logaritmo.

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