PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Seja a matriz M = \begin{bmatrix} 1 & z \\ -z & \bar{z} \end{bmatrix}, onde z é o número complexo z = cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\ sen\left(\frac{4\pi}{3}\right), \bar{z} o seu conjugado e os ângulos estão expressos em radianos. O determinante de M é:

  1. A
    2\left(cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\ sen\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)
  2. B
    2\left(cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\ sen\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)
  3. C
    2\left(cos\left(\frac{8\pi}{3}\right) - i\ sen\left(\frac{8\pi}{3}\right)\right)
  4. D
    cos(\pi) + i\ sen(\pi)
  5. E
    cos(2\pi) + i\ sen(2\pi)
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

O determinante de uma matriz 2\times2 é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

  1. Diagonal principal: 1\cdot\bar{z}=\bar{z}.
  2. Diagonal secundária: z\cdot(-z)=-z^2.
  3. Então \det M=\bar{z}-(-z^2)=\bar{z}+z^2.

Como z está na forma trigonométrica com módulo 1 e argumento \frac{4\pi}{3}:

  • z=\cos\frac{4\pi}{3}+i\,\sen\frac{4\pi}{3}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i
  • \bar{z}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i
  • Pela 1ª fórmula de De Moivre, z^2=\cos\frac{8\pi}{3}+i\,\sen\frac{8\pi}{3}. Como \frac{8\pi}{3}=2\pi+\frac{2\pi}{3}, temos z^2=\cos\frac{2\pi}{3}+i\,\sen\frac{2\pi}{3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.

Somando:

\det M=\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)+\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1+\sqrt3\,i

Na forma trigonométrica, -1+\sqrt3 i = 2\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\,\sen\frac{2\pi}{3}\right).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Btem o argumento de z (4\pi/3), mas o resultado está no 2º quadrante, com argumento 2\pi/3.
  • Cusa o argumento de z^2 com o sinal do seno trocado, o que dá o conjugado e não o resultado correto.
  • Ddá o número -1, de módulo 1, e esquece que \bar z e z^2 são iguais e se somam, dando módulo 2.
  • Edá o número 1, o que não corresponde a \bar z+z^2.

Assuntos: determinante, números complexos, fórmula de De Moivre.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Prova objetiva do IME 2021

Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗