PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Uma sequência é gerada pelo produto dos termos correspondentes de duas progressões aritméticas de números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência são 3053, 3840 e 4389. O sétimo termo da sequência é:

  1. A
    3035
  2. B
    4205
  3. C
    4398
  4. D
    4608
  5. E
    5063
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Sejam as duas PAs a+nr e b+ns, com n=0,1,2,\dots. O produto dos termos correspondentes é um polinômio do 2º grau em n:

f(n)=(a+nr)(b+ns)=ab+(as+br)\,n+rs\,n^2

Os termos dados são f(0)=3053, f(1)=3840 e f(2)=4389.

  1. Primeira diferença: f(1)-f(0)=787 e f(2)-f(1)=549.
  2. Segunda diferença: 549-787=-238. Em f(n), ela vale 2rs, então rs=-119.
  3. Pela primeira diferença: f(1)-f(0)=(as+br)+rs=787, então as+br=787+119=906.
  4. Assim, f(n)=3053+906n-119n^2.
  5. Para o sétimo termo, n=6:
f(6)=3053+906\cdot 6-119\cdot 36=3053+5436-4284=4205

Também dá para conferir que existem PAs inteiras com esses valores. Como 3053=43\cdot71, basta tomar a=71, b=43, r=-7 e s=17: ab=3053 e 17\cdot71-7\cdot43=906, como exigido.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a fórmula obtida; resulta de erro de conta ao montar o polinômio.
  • CNão corresponde a f(6); é um valor de aparência próxima às diferenças, sem base no cálculo.
  • DValor sem relação com f(6); provavelmente vem de usar o sinal errado em rs.
  • EEsquece o termo -119n^2 de forma parcial, ou usa n=7 em vez de n=6 no índice.

Assuntos: progressão aritmética, polinômio do 2º grau, diferenças finitas.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Prova objetiva do IME 2021

Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗