Questão 15 do IME 2021

Question

Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação à base pentagonal satisfaz:

A
2{,}9 \le h \le 3{,}0
B
3{,}8 \le h \le 4{,}0
C
4{,}8 \le h \le 4{,}9
D
5{,}8 \le h \le 6{,}0
E
6{,}1 \le h \le 6{,}2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação à base pentagonal satisfaz:

A
2{,}9 \le h \le 3{,}0
B
3{,}8 \le h \le 4{,}0
C
4{,}8 \le h \le 4{,}9
D
5{,}8 \le h \le 6{,}0
E
6{,}1 \le h \le 6{,}2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Inicialmente o copo está com o vértice para baixo. A bebida forma uma pirâmide semelhante à do copo, com altura 8 cm, enquanto o copo inteiro tem altura 9 cm. Em sólidos semelhantes, a razão entre volumes é o cubo da razão entre alturas:

V_{beb}=\left(\frac{8}{9}\right)^3 V = \frac{512}{729}V

Agora o copo é virado: a base pentagonal fica embaixo e o vértice em cima. A parte vazia é uma pirâmide menor, com vértice no vértice do copo e altura x = 9-h, em que h é a altura da bebida medida a partir da base.

O volume vazio é V - V_{beb}:

V_{vazio}=\left(1-\frac{512}{729}\right)V=\frac{217}{729}V

Usando de novo a semelhança:

\left(\frac{x}{9}\right)^3=\frac{217}{729}\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{\sqrt[3]{217}}{9}\Rightarrow x=\sqrt[3]{217}

Como 6^3=216, temos \sqrt[3]{217}\approx 6{,}01.

Logo:

h = 9 - 6{,}01 \approx 2{,}99

Esse valor está entre 2{,}9 e 3{,}0.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana: \sqrt[3]{217}\approx 6{,}01 é a altura da parte vazia, não da bebida, que é 9-6{,}01.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem justificativa; não resulta de 9-\sqrt[3]{217}.
CNão corresponde ao cálculo de volumes; vem de uma proporção errada.
DConfunde a altura vazia (\approx 6{,}01) com a altura da bebida.
EUsa a altura do vazio (\approx 6{,}01) mais algo, sem subtrair de 9.

Assuntos: semelhança de sólidos, volume de pirâmide.

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Questão 15 no caderno Prova objetiva do IME 2021

Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗