PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Considere um trapézio de bases AB e CD, com o ponto I sendo a interseção de suas diagonais. Se as áreas dos triângulos AIB e CID formados pelas diagonais são 9\text{ cm}^2 e 16\text{ cm}^2, respectivamente, a área do trapézio, em \text{cm}^2, é:

  1. A
    Não é possível determinar por terem sido fornecidos dados insuficientes.
  2. B
    63
  3. C
    50
  4. D
    49
  5. E
    45
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Resolução comentada

Em um trapézio de bases AB e CD, os triângulos AIB e CID são semelhantes, pois AB \parallel CD dá ângulos alternos internos iguais, e os ângulos em I são opostos pelo vértice.

A razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança k:

k^2=\frac{9}{16}\Rightarrow k=\frac{3}{4}

Assim, \dfrac{AI}{IC}=\dfrac{BI}{ID}=\dfrac{3}{4}.

Os triângulos laterais AID e BIC têm áreas iguais. Isso vale porque ABD e ABC têm a mesma base AB e a mesma altura (a altura do trapézio), logo têm a mesma área. Retirando de ambos o triângulo comum AIB, sobram AID e BIC com áreas iguais.

Calculando a área de AID:

  1. Os triângulos AID e CID têm a mesma altura, traçada de D até a reta AC.
  2. Então a razão entre suas áreas é a razão entre as bases AI e IC:
\frac{\text{área}(AID)}{16}=\frac{3}{4}\Rightarrow \text{área}(AID)=12

Portanto BIC também tem área 12\ \text{cm}^2.

A área do trapézio é a soma das quatro regiões:

9+16+12+12=49\ \text{cm}^2

Conferindo: a área total é (3+4)^2=49 quando se toma 9=3^2 e 16=4^2, o que confirma o resultado.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOs dados bastam: a semelhança dos triângulos AIB e CID determina as demais áreas.
  • BParece vir de somar 9 + 16 + 2·19 ou de erro semelhante nas áreas laterais; as áreas laterais valem 12, não 19.
  • CResulta de erro no cálculo das áreas laterais (valores como 12,5 em vez de 12).
  • EUsa áreas laterais de 10, sem justificativa; a razão 3/4 leva a 12.

Assuntos: semelhança de triângulos, área de trapézio.

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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗