PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 13 do IME 2021
Seja a equação 2\sen^2(e^\theta)-4\sqrt{3}\sen(e^\theta)\cos(e^\theta)-\cos(2e^\theta)=1, \theta\in\mathbb{R}^+. O menor valor de \theta que é raiz da equação é:
- A\ln\left(\frac{\pi}{6}\right)
- B\ln\left(\frac{\pi}{3}\right)
- C\ln\left(\frac{5\pi}{6}\right)
- D\ln\left(\frac{\pi}{12}\right)
- E\ln\left(\frac{5\pi}{12}\right)
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
Chame x=e^\theta. Como \theta\in\mathbb{R}^+, temos x>1.
A ideia é levar tudo para o arco duplo 2x:
- 2\sen^2 x = 1-\cos 2x
- 2\sen x\cos x=\sen 2x, logo 4\sqrt3\,\sen x\cos x = 2\sqrt3\,\sen 2x
Substituindo na equação:
1-\cos 2x-2\sqrt3\,\sen 2x-\cos 2x=1
-2\cos 2x-2\sqrt3\,\sen 2x=0
\cos 2x=-\sqrt3\,\sen 2x \Rightarrow \tg 2x=-\frac{1}{\sqrt3}
(se \cos 2x=0, o \sen 2x não se anula, então dividir é seguro).
As soluções são 2x=-\frac{\pi}{6}+k\pi, ou seja, x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}.
Precisamos de x>1:
- k=1: x=\frac{5\pi}{12}\approx 1{,}31>1. Serve.
- k=0: x<0, não serve.
O menor valor é x=\frac{5\pi}{12}, e então e^\theta=\frac{5\pi}{12}, ou seja, \theta=\ln\left(\frac{5\pi}{12}\right). Esse \theta é positivo, pois x>1.
Alternativa E.
Por que as outras alternativas estão erradas
- A\pi/6\approx0{,}52<1 daria \theta negativo, fora de \mathbb{R}^+, e não satisfaz a equação.
- B\pi/3\approx1{,}05 dá \tg(2\pi/3)=-\sqrt3, não -1/\sqrt3.
- C5\pi/6 não é da forma -\pi/12+k\pi/2, logo não é raiz.
- D\pi/12<1 daria \theta negativo e não é raiz.
Assuntos: equações trigonométricas, arco duplo.
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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗