PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Seja a equação

7^{4x} - 10 \cdot 7^{3x} + 17 \cdot 7^{2x} + 40 \cdot 7^x = 12 \cdot 7

Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:

  1. A
    pode-se construir um triângulo escaleno.
  2. B
    pode-se construir um triângulo isósceles.
  3. C
    pode-se construir um quadrilátero.
  4. D
    pode-se construir um pentágono.
  5. E
    não é possível construir qualquer polígono.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Faça y = 7^x, com y>0. A equação vira:

y^4 - 10y^3 + 17y^2 + 40y - 84 = 0
  1. Testando y=2: 16-80+68+80-84=0. Testando y=-2: 16+80+68-80-84=0. Então (y^2-4) é fator.
  2. Dividindo, obtém-se (y^2-4)(y^2-10y+21)=0.
  3. O segundo fator dá y=3 ou y=7. O primeiro dá y=\pm 2.
  4. Como 7^x>0, descartamos y=-2. Ficam y=2,\ 3,\ 7.

Voltando a x:

x=\log_7 2,\qquad x=\log_7 3,\qquad x=1

Todas são não nulas, e todas são positivas, então o módulo é o próprio valor.

Para formar um polígono, o maior lado deve ser menor que a soma dos demais. O maior segmento mede 1. A soma dos outros dois é:

\log_7 2+\log_7 3=\log_7 6<\log_7 7=1

Logo o maior segmento é maior que a soma dos outros. Não existe triângulo, nem qualquer outro polígono, com esses três segmentos.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExigiria a desigualdade triangular, mas \log_7 2+\log_7 3=\log_7 6<1, então não há triângulo.
  • BOs três comprimentos são distintos e, de todo modo, não formam triângulo.
  • CSó há três segmentos, e o maior excede a soma dos outros; um quadrilátero precisaria de quatro lados.
  • DUm pentágono precisaria de cinco lados, e só há três segmentos.

Assuntos: equação exponencial, logaritmos, condição de existência de polígono.

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Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗