PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2021

Prova objetiva · Matemática

Considere o sistema de equações:

\begin{cases} log(-2x + 3y + k) = log(3) + log(z) \\ log_x(1 - y) = 1 \\ x + z = 1 \end{cases}

onde x, y, e z são variáveis e k é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:

  1. A
    k < -2
  2. B
    -2 < k < 0
  3. C
    0 < k < 2
  4. D
    2 < k < 4
  5. E
    k > 4
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Para o sistema ter solução, os logaritmos precisam estar definidos: logaritmando positivo, base positiva e diferente de 1.

  1. Na segunda equação, \log_x(1-y)=1 significa 1-y=x, com x>0 e x\neq 1. Logo, y=1-x.

  2. Na terceira equação, z=1-x. Como \log z aparece na primeira equação, é preciso z>0, ou seja, x<1. Com a condição anterior, 0<x<1.

  3. Na primeira equação, \log(-2x+3y+k)=\log(3z), então -2x+3y+k=3z. Substituindo y e z:

-2x+3(1-x)+k=3(1-x)
-2x+k=0 \Rightarrow x=\frac{k}{2}

  1. Impondo 0<x<1, temos 0<\frac{k}{2}<1, ou seja, 0<k<2.

  2. Verificação: com x nesse intervalo, z=1-x>0, 1-y=x>0 e -2x+3y+k=3z>0. Todos os logaritmandos são positivos e a base x é válida.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ak<-2 daria x=k/2<-1, base negativa, que não é permitida.
  • B-2<k<0 daria x<0, base do logaritmo negativa.
  • D2<k<4 daria x>1, o que torna z=1-x negativo e \log z indefinido.
  • Ek>4 daria x>2 e z<0, sem solução.

Assuntos: logaritmos, condição de existência, sistemas de equações.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 11 no caderno Prova objetiva do IME 2021

Fonte: IME 2021 · Prova objetiva. Prova oficial ↗