PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do IME 2020

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números das faces é:

  1. A
    22
  2. B
    35
  3. C
    40
  4. D
    42
  5. E
    50
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Resolução comentada

Chame de a e a' as faces opostas, de b e b' outro par de faces opostas, e de c e c' o terceiro par.

Cada vértice toca exatamente uma face de cada par. Então os 8 vértices correspondem às 8 escolhas de uma face de cada par, e a soma dos produtos é:

S=abc+abc'+ab'c+ab'c'+a'bc+a'bc'+a'b'c+a'b'c'

Essa soma é o produto fatorado:

S=(a+a')(b+b')(c+c')

Logo (a+a')(b+b')(c+c')=1105.

Fatorando: 1105=5\cdot 221=5\cdot 13\cdot 17.

Cada soma de duas faces é um inteiro maior ou igual a 2, pois os números são positivos. Os três fatores são, portanto, inteiros \ge 2 com produto 1105. Como 1105 tem só três fatores primos, a única forma de escrevê-lo como produto de três inteiros \ge 2 é 5\cdot 13\cdot 17.

A soma das seis faces é a soma dos três pares:

(a+a')+(b+b')+(c+c')=5+13+17=35

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma decomposição de 1105 em três fatores; valor sem base na fatoração.
  • CNão é a soma dos fatores 5, 13 e 17.
  • DNão é a soma dos fatores 5, 13 e 17.
  • ENão é a soma dos fatores 5, 13 e 17.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗